史上最悪の買収、再び

これを段階的に見ていきましょう。

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## 1. 問題を理解する

垂直線 \( x = \sqrt{3} \) と \( x = \sqrt{8} \) の間の曲線 \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) の下、および \( x \) 軸より上の面積を求めるように求められます。

したがって、面積 \( A \) は定積分で与えられます。

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. 置換

\( u = x^2 + 1 \) とします。すると \( du = 2x \, dx \) なので、 \( x \, dx = \frac{du}{2} \) となります。

\( x = \sqrt{3} \) の場合:

\[

u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

\( x = \sqrt{8} \) の場合:

\[

u = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

---

## 3. 積分値を変更する

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \、デュ

\]

---

## 4. 評価する

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \右]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{9}{4} \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3^2}{2^2} \right)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\left( \frac{3}{2} \right)

\]

---

## 5. 最終的な答え

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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