Wieder einmal die schlechteste Akquisition der Geschichte

Lassen Sie uns dies Schritt für Schritt aufschlüsseln.

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## 1. Das Problem verstehen

Wir werden gebeten, die Fläche unter der Kurve \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) zwischen den vertikalen Linien \( x = \sqrt{3} \) und \( x = \sqrt{8} \) und über der \( x \)-Achse zu finden.

Die Fläche \( A \) ist also durch das bestimmte Integral gegeben:

\[

A = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. Auswechslung

Sei \( u = x^2 + 1 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \), also \( x \, dx = \frac{du}{2} \).

Wenn \( x = \sqrt{3} \):

\[

u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

Wenn \( x = \sqrt{8} \):

\[

u = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

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## 3. Ändern Sie das Integral

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

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## 4. Bewerten

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \left( \ln 9 - \ln 4 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{9}{4} \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\left( \frac{3^2}{2^2} \right)

= \frac{1}{2} \ln\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\left( \frac{3}{2} \right)

= \ln\left( \frac{3}{2} \right)

\]

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## 5. Endgültige Antwort

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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