A pior aquisição da história, novamente

Vamos analisar isso passo a passo.

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## 1. Entendendo o problema

Somos solicitados a encontrar a área sob a curva \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) entre as linhas verticais \( x = \sqrt{3} \) e \( x = \sqrt{8} \), e acima do eixo \( x \).

Portanto a área \( A \) é dada pela integral definida:

\[

UMA = \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

\]

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## 2. Substituição

Seja \( você = x^2 + 1 \). Então \( du = 2x \, dx \), então \( x \, dx = \frac{du}{2} \).

Quando \( x = \sqrt{3} \):

\[

você = (\sqrt{3})^2 + 1 = 3 + 1 = 4

\]

Quando \( x = \sqrt{8} \):

\[

você = (\sqrt{8})^2 + 1 = 8 + 1 = 9

\]

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## 3. Altere a integral

\[

\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx

= \int_{x=\sqrt{3}}^{x=\sqrt{8}} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \, dx

= \int_{u=4}^{u=9} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}

\]

\[

= \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u} \, du

\]

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## 4. Avalie

\[

\frac{1}{2} \left[ \ln|u| \direita]_{4}^{9}

= \frac{1}{2} \esquerda( \ln 9 - \ln 4 \direita)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\esquerda( \frac{9}{4} \direita)

\]

\[

= \frac{1}{2} \ln\esquerda( \frac{3^2}{2^2} \direita)

= \frac{1}{2} \ln\esquerda( \esquerda( \frac{3}{2} \direita)^2 \direita)

\]

\[

= \frac{1}{2} \cdot 2 \ln\esquerda( \frac{3}{2} \direita)

= \ln\esquerda( \frac{3}{2} \direita)

\]

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## 5. Resposta final

\[

\boxed{\ln\left( \frac{3}{2} \right)}

\]

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