为什么这个标志性的苏格兰品牌要为波本威士忌爱好者酿造威士忌

好吧，让我一步步分解。

问题说：

> 函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) 在区间 \( (-\infty, -2) \) 和 \( (4, \infty) \) 上递增。

> 因此，\( f \) 在区间 \( (-2, 4) \) 上递减。

我们被问到：

> 找到 \( f \) 的局部最大值和局部最小值。

---

## 第 1 步：关键点

局部极值出现在 \( f'(x) = 0 \) 或未定义的位置。

这里，\( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \)。

设 \(f'(x) = 0 \)：

\[

3x^2 - 6x - 24 = 0

\]

除以 3：

\[

x^2 - 2x - 8 = 0

\]

因素：

\[

(x - 4)(x + 2) = 0

\]

所以关键点：\( x = -2 \) 和 \( x = 4 \)。

---

## 步骤 2：使用增加/减少行为确定局部最大值和最小值

鉴于：

- 增加 \( (-\infty, -2) \) → 意味着 \( f'(x) > 0 \) 。

- 减少 \( (-2, 4) \) → 意味着 \( f'(x) < 0 \) 。

- 增加 \( (4, \infty) \) → 意味着 \( f'(x) > 0 \) 。

所以：

- \( x = -2 \): \( f' \) 从正值变为负值 → 局部最大值。

- \( x = 4 \): \( f' \) 从负值变为正值 → 局部最小值。

---

## 步骤 3：计算 \( f(-2) \) 和 \( f(4) \)

\[

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5

\]

**在 \( x = -2 \) 处：**

\[

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + 5

\]

\[

= -8 - 3(4) + 48 + 5

\]

\[

= -8 - 12 + 48 + 5

\]

\[

= -20 + 48 + 5 = 28 + 5 = 33

\]

所以局部最大值 = \( 33 \)。

**在 \( x = 4 \) 处：**

\[

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + 5

\]

\[

= 64 - 3(16) - 96 + 5

\]

\[

= 64 - 48 - 96 + 5

\]

\[

= 16 - 96 + 5 = -80 + 5 = -75

\]

所以局部最小值=\(-75\)。

---

## 第四步：最终答案

\[

\boxed{33 \text{ 和 } -75}

\]

这些是 \( f \) 的局部最大值和局部最小值。

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常见问题解答

为什么这个标志性的苏格兰品牌要为波本威士忌爱好者酿造威士忌？

由于对产品的质量和传承，我们选择与波本威士忌有深厚历史的苏格兰品牌来创作这款威士忌，确保每一瓶都能传递独特的风味和经典体验。

函数 f(x) = x³ - 3x² - 24x + 5 在区间 (-2, 4) 上递增还是递减？

根据导数分析，在区间 (-2, 4) 内函数是递增的，符合题目描述。

根据变化方向，我们确定了函数的局部极值点是哪些？

通过求解导数，找到关键点 x = -2 和 x = 4，分别是局部极值点。

这个过程与《墨韦兹》相关吗？

这与《墨韦兹》中的风土人情与传统相呼应，体现了我们对历史品牌的尊重。