Connes шигтгэх асуудал

Конны оруулах асуудал нь оператор алгебр, квант мэдээллийн онол, тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын огтлолцол дээр суудаг орчин үеийн математикийн хамгийн гүн гүнзгий асуултуудын нэг юм. Францын математикч Ален Коннесийн 1976 онд санал болгож, 2020 онд эцэслэн шийдэгдсэн хариулт нь математикч, физикчид квантын хамаарал, хязгааргүй хэмжээст орон зай, математик логикийн үндсэн бүтцийг хэрхэн ойлгодог болохыг өөрчилсөн.

Конны суулгацын асуудал яг юу вэ?

Коннын суулгацын асуудал үндсэндээ заль мэхтэй энгийн асуултыг тавьсан: трациал төлөвтэй төгсгөлтэй фон Нейманы алгебр бүрийг гипер төгсгөлийн II₁ хүчин зүйлийн хэт хүчин чадалд суулгаж болох уу? Энгийнээр хэлбэл, бүх "сайн" хязгааргүй хэмжээст квант системийг хязгаарлагдмал, дагах чадвартай математик бүтцээр ойртуулж болох эсэхийг судалжээ.

Ален Коннес 1976 онд тийм гэсэн хариултыг анх таамаглаж байсан бөгөөд энэ нь үргэлж боломжтой байдаг. Дөчин жилийн турш энэ асуудал нээлттэй хэвээр байсан бөгөөд дэлхийн хамгийн шилдэг математикчдын хүчин чармайлтыг эсэргүүцэв. Түүний нарийвчлал нь цэвэр оператор алгебрийн онолоос биш, харин огт санаанд оромгүй чиглэлээс: квант интерактив нотолгооны тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлаас гарах болно.

"Конны суулгацын асуудлыг няцаах нь зөвхөн математикийн сониуч зан биш бөгөөд энэ нь криптографаас физикийн үндэс хүртэл үргэлжилсэн үр дагавар бүхий квант системүүд юу хийж чадах, сонгодог ойролцоолсон тооцоолол юуг олж авах хоорондын үндсэн ялгааг харуулж байна."

44 жилийн настай математикийн асуудлыг квант тооцоолол хэрхэн шийдсэн бэ?

2020 онд судлаач Жи, Натаражан, Видик, Райт, Юэн нар MIP* = RE гэдгийг тогтоосон чухал баримт бичгийг нийтэлсэн бөгөөд MIP* нь хоёр орооцолдсон квант судлаачтай харилцаж буй сонгодог шалгагчаар шийдэж болох асуудлын ангиллыг илэрхийлдэг бөгөөд RE нь рекурсив хэллэгийн анги юм. Энэ үр дүн цочирдмоор байлаа: квантын орооцолдол нь интерактив нотлох системд ер бусын буюу үндсэндээ хязгааргүй нэмэгдэл өгдөг болохыг харуулсан.

Коннестэй холбогдсон уу? Баг нь Коннесийн оруулах асуудал нь MIP* = MIP (сонгодог олон талт интерактив нотолгооны анги) мэдэгдэлтэй тэнцэх болохыг баталсан. MIP* нь MIP-ээс хамаагүй том буюу үнэндээ RE-тэй тэнцүү байсан тул Connes Embedding-ийн таамаг худал байсан. Хязгаарлагдмал фон Нейманы алгебр бүр хэт төгсгөлийн II₁ хүчин зүйлийн хэт хүчийг шингээдэггүй.

Асуудлын цаад үндсэн зарчмууд юу вэ?

Коннес шигтгэх асуудлыг ойлгохын тулд хэд хэдэн үндсэн математик бүтцийг мэддэг байх шаардлагатай:

• Вон Нейманы алгебрууд: Матрицын алгебруудыг хязгааргүй хэмжээс болгон ерөнхийлсөн сул оператор топологийн дор хаалттай, Гилбертийн орон зайн хязгаарлагдмал операторуудын алгебрууд.
• The Hyperfinite II₁ Factor: Өвөрмөц, каноник фон Нейманы алгебр нь хязгаарлагдмал матриц алгебруудын "хязгаар" буюу хамгийн байгалийн хязгааргүй хэмжээст квант систем юм.
• Tracial States: Фон Нейманы алгебр дээрх шугаман функцууд нь нормчлогдсон ул мөр шиг ажилладаг бөгөөд төсөөлөлд "хэмжээ" эсвэл "хэмжээ" гэсэн ойлголтыг өгдөг.
• Хэт хүч:Алгебруудын дарааллын хязгаарыг тодорхой, стандарт бус аргаар авч математикийн шинэ бүтцийг гаргадаг загвар-онолын бүтэц.
• Квантын корреляци: Квантын мэдээллийн онолын гол хэсэг болох орооцолдсон квант төлөвийг хуваалцаж буй хоёр талын хүрч болох корреляцийн ангилал ба асуудлын эцсийн шийдэл.

Энэ асуудлын түүхэн нөхцөл байдал, хувьсал нь юу вэ?

Асуудлын гарал үүсэл нь Коннесийн 1976 онд бичсэн инжектор хүчин зүйлийн тухай өгүүлсэн бөгөөд оператор алгебр дахь хувиргах ажил юм. Дараагийн хэдэн арван жилийн хугацаанд математикчид CEP ​​нь математикийн огт хамааралгүй мэт санагдах олон арван бодлоготой дүйцэхүйц болохыг олж мэдэв. Кирчбергийн C*-алгебрийн онол дахь QWEP таамаглалаас эхлээд квант мэдээллийн онол дахь Цирэлсоны асуудал хүртэл, тэдгээр нь 10 операторын үүсгэсэн квант корреляцууд нь тэдгээр операторын үүсгэсэн квантоператоруудтай ижилхэн эсэхийг асуусан.

Тэнцүүлэлтийн энэ вэб нь CEP-ийг зохион байгуулалтын төв асуудал, ялгаатай талбаруудыг холбосон "төв" болгосон. 2020 онд унах үед долгионы нөлөө математик, физик, компьютерийн шинжлэх ухаанд нэгэн зэрэг мэдрэгдсэн. Цирэлсоны асуудал сөрөг хариулттай байдгийн нотолгоо (MIP* = RE-ээр шууд илэрхийлсэн) нь квант механик нь физикчдийн төсөөлж байснаас ч илүү нарийн мэдрэмжийг агуулдаг болохыг баталсан.