ຟັງຊັນແກມມາ: ການສະແດງພາບສຳລັບອາກິວເມັນທີ່ຊັບຊ້ອນ

ຟັງຊັນແກມມາເປັນຕົວຂະຫຍາຍທາງຄະນິດສາດທີ່ມີປະສິດທິພາບຂອງການດຳເນີນງານປັດໄຈ, ກຳນົດໄວ້ສຳລັບຕົວເລກຊັບຊ້ອນທັງໝົດ ຍົກເວັ້ນຈຳນວນເຕັມທີ່ບໍ່ໄດ້ບວກ, ແລະການສະແດງພາບຂອງມັນສຳລັບການໂຕ້ແຍ້ງທີ່ຊັບຊ້ອນໄດ້ເປີດເຜີຍໂຄງສ້າງເລຂາຄະນິດທີ່ສະຫຼັບຊັບຊ້ອນ ເຊິ່ງເຮັດໃຫ້ຄຸນສົມບັດການວິເຄາະເລິກຂອງມັນ. ການເຂົ້າໃຈວິທີການປະຕິບັດໜ້າທີ່ຂອງແກມມາໃນທົ່ວຍົນທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນມີຄວາມຈຳເປັນສຳລັບນັກຄະນິດສາດ, ນັກວິທະຍາສາດຂໍ້ມູນ ແລະ ວິສະວະກອນທີ່ອີງໃສ່ມັນໃນທົ່ວສາຂາຕ່າງໆ ຕັ້ງແຕ່ຟີຊິກ quantum ຈົນເຖິງການສ້າງແບບຈໍາລອງສະຖິຕິ.

ຟັງຊັນແກມມາແທ້ແມ່ນຫຍັງ ແລະເປັນຫຍັງມັນຈຶ່ງສຳຄັນ?

ຟັງຊັນແກມມາ, ໝາຍເຖິງ Γ(z), ໄດ້ຖືກແນະນຳໂດຍ Leonhard Euler ໃນສະຕະວັດທີ 18 ເປັນການລວມຕົວຕາມທຳມະຊາດຂອງຟັງຊັນ factorial ເປັນຄ່າທີ່ບໍ່ແມ່ນຈຳນວນເຕັມ. ສຳລັບຈຳນວນເຕັມບວກ n, Γ(n) = (n − 1)!, ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນຂົວທີ່ຂາດບໍ່ໄດ້ລະຫວ່າງຄະນິດສາດທີ່ແຍກກັນ ແລະການວິເຄາະຢ່າງຕໍ່ເນື່ອງ. ໂດເມນຂອງມັນຂະຫຍາຍໄປທົ່ວຍົນທີ່ຊັບຊ້ອນທັງໝົດ — ຊ່ອງຫວ່າງສອງມິຕິທີ່ຕົວເລກມີທັງອົງປະກອບຈິງ ແລະຈິນຕະນາການ — ເຊິ່ງແນ່ນອນວ່າສິ່ງທີ່ເຮັດໃຫ້ການເບິ່ງເຫັນຂອງມັນເປັນສິ່ງທີ່ໜ້າສົນໃຈ ແລະເປັນທີ່ຕ້ອງການທາງດ້ານເຕັກນິກ.

ສຳ​ລັບ​ຄ່າ​ທາງ​ບວກ​ທີ່​ແທ້​ຈິງ, ຟັງ​ຊັນ gamma ຈະ​ສ້າງ​ເສັ້ນ​ໂຄ້ງ​ທີ່​ລຽບ​ດ້ວຍ​ຮູບ​ຮ່າງ​ທີ່​ຮູ້​ຈັກ. ແຕ່ໃນເວລາທີ່ທ່ານຂະຫຍາຍການໂຕ້ຖຽງເຂົ້າໄປໃນຍົນສະລັບສັບຊ້ອນ, ພຶດຕິກໍາຈະກາຍເປັນທີ່ອຸດົມສົມບູນຢ່າງຫຼວງຫຼາຍ. Poles ປາກົດຢູ່ທີ່ສູນແລະທຸກຈໍານວນລົບ, ແລະຟັງຊັນສະແດງໃຫ້ເຫັນພຶດຕິກໍາ oscillatory ທີ່ບໍ່ມີແຜນການສອງມິຕິລະດັບສາມາດຈັບໄດ້ຢ່າງເຕັມສ່ວນ. ນັ້ນແມ່ນເຫດຜົນທີ່ນັກຄະນິດສາດຫັນໄປໃຊ້ການໃສ່ສີໂດເມນ ແລະຮູບແຕ້ມພື້ນຜິວສາມມິຕິເພື່ອໃຫ້ເຂົ້າໃຈເຖິງລັກສະນະເຕັມຂອງຟັງຊັນແກມມາທີ່ຊັບຊ້ອນ.

ຟັງຊັນແກມມາເປັນພາບສໍາລັບການໂຕ້ຖຽງທີ່ຊັບຊ້ອນແນວໃດ?

ການເບິ່ງເຫັນຟັງຊັນທີ່ມີມູນຄ່າຊັບຊ້ອນຂອງຕົວແປທີ່ຊັບຊ້ອນແມ່ນມີຄວາມທ້າທາຍໂດຍພື້ນຖານແລ້ວ ເພາະວ່າທ່ານກຳລັງຈັດການກັບສີ່ມິຕິຕົວຈິງພ້ອມໆກັນ. ເຕັກນິກທີ່ຖືກຮັບຮອງເອົາຢ່າງກວ້າງຂວາງທີ່ສຸດແມ່ນ ການໃສ່ສີໂດເມນ, ເຊິ່ງແຕ່ລະຈຸດໃນແຜນຜັງການປ້ອນຂໍ້ມູນທີ່ຊັບຊ້ອນຈະຖືກມອບໝາຍເປັນສີທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງມູນຄ່າຜົນຜະລິດ. Hue ເຂົ້າລະຫັດອາກິວເມັນ (ມຸມ) ຂອງຜົນຜະລິດ, ໃນຂະນະທີ່ຄວາມສະຫວ່າງ ຫຼືຄວາມອີ່ມຕົວເຂົ້າລະຫັດໂມດູລັສ (ຂະໜາດ).

ແຜນຜັງພື້ນຜິວສາມມິຕິມີເລນທີ່ມີປະສິດທິພາບອີກອັນໜຶ່ງ. ໂດຍການວາງແຜນໂມດູລັສ |Γ(z)| ຢູ່ເທິງຍົນທີ່ສັບສົນ, ເຈົ້າຈະເຫັນຮວງຕັ້ງແຈບຢ່າງໜ້າຕື່ນຕາຕື່ນໃຈຢູ່ເສົາ — ຕັ້ງຢູ່ທີ່ z = 0, −1, −2, −3, … — ເພີ່ມຂຶ້ນໄປສູ່ຄວາມບໍ່ມີຂອບເຂດ. ລະຫວ່າງຂົ້ວເຫຼົ່ານີ້, ຮ່ອມພູ ແລະສັນຕາມລວງຍາວຈະຕິດຕາມຈຸດສູນ ແລະຈຸດ saddle ຂອງຟັງຊັນ, ປະກອບເປັນພູມສັນຖານທາງຄະນິດສາດທີ່ທັງງາມ ແລະໃຫ້ຂໍ້ມູນການວິເຄາະ.

"ການໃສ່ສີໂດເມນຂອງແກມມາທີ່ຊັບຊ້ອນບໍ່ເປັນພຽງການຕົກແຕ່ງ — ມັນເປັນແຜນທີ່ບີບອັດຂອງໂຄງສ້າງການວິເຄາະຂອງຟັງຊັນ, ເປີດເຜີຍເສົາ, ສູນ ແລະ ພຶດຕິກຳຂອງສາຂາໃນສາຍຕາດຽວ. ແຕ່ລະແຖບຂອງສີຈະເຂົ້າລະຫັດຕົວເລກແບບ winding ທີ່ເວົ້າໂດຍກົງກັບສ່ວນທີ່ເຫຼືອຂອງຟັງຊັນ."

ເຄື່ອງມືການຄຳນວນທີ່ທັນສະໄໝ — ຫ້ອງສະໝຸດ Matplotlib ແລະ mpmath ຂອງ Python, Mathematica, ແລະ MATLAB — ຊ່ວຍໃຫ້ນັກຄົ້ນຄວ້າສາມາດສະແດງພາບເຫຼົ່ານີ້ດ້ວຍຄວາມແມ່ນຍໍາສູງ, ເຮັດໃຫ້ການສຳຫຼວດແບບໂຕ້ຕອບໄດ້ວ່າຟັງຊັນປະຕິບັດຄືແນວໃດ ເມື່ອມີການໂຕ້ຖຽງກັນທົ່ວຍົນທີ່ສັບສົນ.

ຄຸນສົມບັດຫຼັກທີ່ເປີດເຜີຍຜ່ານການສະແດງພາບທີ່ສັບສົນແມ່ນຫຍັງ?

ການເບິ່ງເຫັນຟັງຊັນແກມມາສຳລັບການໂຕ້ແຍ້ງທີ່ຊັບຊ້ອນຈະເຮັດໃຫ້ມີຄຸນສົມບັດພື້ນຖານຫຼາຍອັນທີ່ຍາກທີ່ຈະເຂົ້າໃຈໄດ້ຢ່າງດຽວຜ່ານສົມຜົນ:

• ໂຄງສ້າງຂອງເສົາ: ເສົາແບບງ່າຍໆຢູ່ທຸກຈຳນວນທີ່ບໍ່ມີຄ່າບວກ (z = 0, −1, −2, …) ປະກົດເປັນຮວງແຫຼມຢູ່ໃນພື້ນຜິວ ແລະ ຮູບແບບການແຜ່ກະຈາຍທີ່ສົດໃສໃນການໃສ່ສີໂດເມນ.
• ສົມມາການສະທ້ອນ: ສົມຜົນທີ່ໃຊ້ໄດ້ Γ(z)Γ(1 − z) = π / sin(πz) ສ້າງສົມມາຕການປະສານທີ່ເຫັນໄດ້ໃນທົ່ວແກນແທ້ໃນຮູບໂດເມນ.
• ຄວາມສຳພັນການເກີດຂຶ້ນຊ້ຳ: Γ(z + 1) = zΓ(z) ສະແດງອອກເປັນຈັງຫວະໂຄງສ້າງຊ້ຳໆເຊິ່ງເຮັດໃຫ້ການເບິ່ງເຫັນພາບໃນແຖບແນວຕັ້ງຂອງຄວາມກວ້າງອັນໜຶ່ງ.
• ພຶດຕິກຳການປະມານຂອງ Stirling: ສຳລັບ |z| ຂະໜາດໃຫຍ່, ຄວາມກວ້າງຂອງຟັງຊັນຈະເລີນເຕີບໂຕໃນແບບທີ່ຮູບຊົງຂອງ logarithmic ຢືນຢັນໂດຍ asymptotically, ສະຫນອງຫຼັກຖານທາງສາຍຕາສໍາລັບຄວາມຖືກຕ້ອງຂອງການຄາດຄະເນ.
• ການຕໍ່ເນື່ອງຂອງການວິເຄາະ: ການສະແດງພາບສະແດງໃຫ້ເຫັນຢ່າງບໍ່ຢຸດຢັ້ງວ່າຟັງຊັນ, ແຕ່ເດີມໄດ້ກໍານົດໄວ້ສໍາລັບ Re(z) > 0, ຂະຫຍາຍໄປສູ່ຍົນທີ່ຊັບຊ້ອນທັງໝົດຍົກເວັ້ນເສົາ—ເປັນພະຍານເຖິງພະລັງຂອງການສືບຕໍ່ການວິເຄາະ.

ບໍລິບົດປະຫວັດສາດ ແລະວິວັດທະນາການການຄົ້ນຄວ້າຟັງຊັນແກມມາແມ່ນຫຍັງ?

ຄໍານິຍາມຕົ້ນສະບັບຂອງ Euler, Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt, ໄດ້ສ້າງຕັ້ງພື້ນຖານໃນປີ 1729. Gauss, Legendre, ແລະ Weierstrass ແຕ່ລະອັນໄດ້ປະກອບສ່ວນປະຕິຮູບ - ຮູບແບບຜະລິດຕະພັນຂອງ Weierstrass ແມ່ນມີຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບໂຄງສ້າງ. ໃນສະຕະວັດທີ 20, ການວິເຄາະທີ່ຊັບຊ້ອນເຮັດໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບຟັງຊັນແກມມາເປັນໜ້າທີ່ meromorphic, ແລະລະບົບພຶດຊະຄະນິດຄອມພິວເຕີທີ່ທັນສະໄໝໄດ້ປ່ຽນການເບິ່ງເຫັນພາບຈາກການປະມານການແຕ້ມດ້ວຍມືໄປສູ່ຮູບພາບທີ່ມີຄວາມລະອຽດສູງ, ມີການໂຕ້ຕອບ.

ວິ​ວັດ​ການ​ຂອງ​ການ​ສະ​ແດງ​ໃຫ້​ເຫັນ​ການ​ຄິດ​ໄລ່​ໄດ້​ເຮັດ​ໃຫ້​ການ​ທໍາ​ງານ gamma ສາ​ມາດ​ເຂົ້າ​ເຖິງ​ນອກ​ເຫນືອ​ໄປ​ຈາກ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ທີ່​ບໍ​ລິ​ສຸດ. ໃນມື້ນີ້, ມັນປາກົດຢູ່ໃນການປົກກະຕິຂອງການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ (ການແຈກຢາຍ gamma ແລະເບຕ້າ), ໃນການແກ້ໄຂບັນຫາສົມຜົນຄວາມແຕກຕ່າງໃນຟີຊິກ, ແລະໃນທິດສະດີຕົວເລກໂດຍຜ່ານການເຊື່ອມຕໍ່ກັບຟັງຊັນ Riemann zeta — ແຕ່ລະໂດເມນໄດ້ຮັບຜົນປະໂຫຍດຈາກ intuition ທີ່ visualization ໃຫ້.

ການເບິ່ງເຫັນຟັງຊັນແກມມາທີ່ຊັບຊ້ອນຖືກນຳໃຊ້ແນວໃດໃນຂົງເຂດທີ່ທັນສະໄຫມ?

ການ​ເຂົ້າ​ເຖິງ​ພາກ​ປະ​ຕິ​ບັດ​ຂອງ​ການ​ສັງ​ເກດ​ເບິ່ງ​ຟັງ​ຊັນ gamma ແມ່ນ​ຂະ​ຫຍາຍ​ອອກ​ນອກ​ເຫນືອ​ໄປ​ຈາກ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ທາງ​ວິ​ຊາ​ການ. ໃນ​ການ​ຄິດ​ໄລ່​ທາງ​ສະ​ຖິ​ຕິ, ການ​ເບິ່ງ​ພາບ​ການ​ທໍາ​ງານ gamma ຊ່ວຍ​ໃຫ້​ນັກ​ວິ​ທະ​ຍາ​ສາດ​ຂໍ້​ມູນ​ເຂົ້າ​ໃຈ​ຊ່ອງ​ພາ​ລາ​ມິ​ເຕີ​ຂອງ​ຕົວ​ແບບ​ການ​ແຈກ​ຢາຍ gamma ທີ່​ນໍາ​ໃຊ້​ໃນ​ວິ​ທະ​ຍາ​ສາດ actuarial​, ທິດ​ສະ​ດີ​ຄິວ​, ແລະ​ການ​ວິ​ເຄາະ Bayesian​. ໃນທິດສະດີພາກສະຫນາມ quantum, ການຄິດໄລ່ແຜນວາດຂອງ Feynman ມັກຈະມີການປະເມີນຜົນການທໍາງານຂອງ gamma ໃນການໂຕ້ຖຽງທີ່ສັບສົນ, ແລະນັກຟິສິກການເບິ່ງເຫັນໃນການກວດສອບພຶດຕິກໍາ asymptotic. ໃນການປະມວນຜົນສັນຍານ, ຟັງຊັນຈະປາກົດຢູ່ໃນການອອກແບບຕົວກອງ ແລະ ການຄິດໄລ່ເສດສ່ວນ, ເຊິ່ງພຶດຕິກຳຂອງຍົນທີ່ຊັບຊ້ອນມີຜົນກະທົບໂດຍກົງຕໍ່ການວິເຄາະຄວາມສະຖຽນຂອງລະບົບ.

ອົງການຈັດຕັ້ງທີ່ເຮັດວຽກກັບທໍ່ຂໍ້ມູນທີ່ຊັບຊ້ອນ ແລະຂັ້ນຕອນການເຮັດວຽກການວິເຄາະນັບມື້ນັບຕ້ອງການເວທີທີ່ສາມາດປະສານງານເຄື່ອງມື ແລະຜົນໄດ້ຮັບທີ່ຊັບຊ້ອນເຫຼົ່ານີ້. ນີ້ແມ່ນບ່ອນທີ່ລະບົບການດຳເນີນທຸລະກິດທີ່ສົມບູນແບບກາຍເປັນສິ່ງສຳຄັນ — ບໍ່ພຽງແຕ່ສຳລັບທີມວິໄຈເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ສຳລັບອົງກອນໃດນຶ່ງທີ່ຈັດການໂຄງການຫຼາຍດ້ານໃນຂອບເຂດ.

ຄຳຖາມທີ່ຖາມເລື້ອຍໆ

ເປັນ​ຫຍັງ​ຟັງ​ຊັນ gamma ມີ​ເສົາ​ຢູ່​ທີ່​ບໍ່​ແມ່ນ​ເລກ​ບວກ?

ຄຳນິຍາມລວມຂອງຟັງຊັນແກມມາຈະເຂົ້າກັນໄດ້ສະເພາະກັບ Re(z) > 0. ເມື່ອວິເຄາະຕໍ່ໄປຫາສ່ວນທີ່ເຫຼືອຂອງຍົນຊັບຊ້ອນ, ຄວາມສຳພັນການເກີດຂຶ້ນຊ້ຳ Γ(z + 1) = zΓ(z) ບັງຄັບໃຫ້ຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ z = 0, −1, −2, ... ເພາະວ່າການແບ່ງອອກດ້ວຍ z ບວກ ແຕ່ລະຂັ້ນຕອນຂອງການເກີດໃໝ່. ຈຳນວນເຕັມ. ເສົາແບບງ່າຍໆເຫຼົ່ານີ້ມີສານຕົກຄ້າງໃຫ້ໂດຍ (−1)^n / n!, ຄວາມຈິງທີ່ເຫັນໄດ້ຊັດເຈນໃນການສະແດງພາບເປັນສີໂດເມນ.

ເຄື່ອງມືຊອຟແວອັນໃດດີທີ່ສຸດສໍາລັບການເບິ່ງເຫັນຟັງຊັນແກມມາຫຼາຍກວ່າການໂຕ້ຖຽງທີ່ຊັບຊ້ອນ?

ຫ້ອງສະໝຸດ mpmath ຂອງ Python ລວມກັບ Matplotlib ເປັນທາງເລືອກທີ່ເຂົ້າເຖິງໄດ້ຫຼາຍທີ່ສຸດສຳລັບນັກຄົ້ນຄວ້າ, ສະເໜີໃຫ້ມີການປະເມີນຄວາມຊັດເຈນຕາມລຳພັງໃຈ ແລະກຳນົດການວາງແຜນທີ່ປ່ຽນແປງໄດ້. Mathematica ສະຫນອງການວາງແຜນການທໍາງານທີ່ຊັບຊ້ອນທີ່ສ້າງຂຶ້ນດ້ວຍການໃສ່ສີໂດເມນອອກຈາກກ່ອງ. ສໍາລັບການໂຕ້ຕອບ, ການສໍາຫຼວດໂດຍອີງໃສ່ຕົວທ່ອງເວັບ, ເຄື່ອງມືເຊັ່ນ Observable ຫຼື Wolfram Cloud ອະນຸຍາດໃຫ້ກວາດພາລາມິເຕີແບບສົດໆ. ກ່ອງເຄື່ອງມືສັນຍາລັກຂອງ MATLAB ແມ່ນເປັນທີ່ນິຍົມໃນບໍລິບົດດ້ານວິສະວະກໍາທີ່ຕ້ອງການເຊື່ອມໂຍງເຂົ້າກັບທໍ່ simulation ທີ່ໃຫຍ່ກວ່າ.

ຟັງຊັນແກມມາເຊື່ອມຕໍ່ກັບຟັງຊັນ Riemann zeta ແນວໃດ?

ການ​ເຊື່ອມ​ຕໍ່​ແມ່ນ​ໄດ້​ຮັບ​ໂດຍ​ສົມ​ຜົນ​ຂອງ​ການ​ທໍາ​ງານ Riemann zeta: ζ(s) = 2^s π^(s−1) sin(πs/2) Γ(1 − s) ζ(1 − s). ສົມຜົນນີ້ໃຊ້ຟັງຊັນແກມມາເພື່ອກ່ຽວຂ້ອງກັບຄ່າຂອງຟັງຊັນ zeta ຢູ່ດ້ານກົງກັນຂ້າມຂອງແຖບສຳຄັນ Re(s) = 1/2. ການເບິ່ງເຫັນຟັງຊັນທັງສອງຢູ່ເທິງຍົນທີ່ຊັບຊ້ອນຢູ່ຂ້າງໆກັນ ເປີດເຜີຍໃຫ້ເຫັນວ່າເສົາຂອງຟັງຊັນແກມມາ ແລະສູນຂອງຟັງຊັນ zeta ປະສານງານກັນຢ່າງສະໜິດສະໜົມ, ເປັນຄວາມສຳພັນທີ່ເປັນຈຸດໃຈກາງຂອງສົມມຸດຕິຖານ Riemann ທີ່ບໍ່ໄດ້ຮັບການແກ້ໄຂ.

ບໍ່​ວ່າ​ທ່ານ​ຈະ​ເປັນ​ນັກ​ຄົ້ນ​ຄວ້າ​ປະ​ສານ​ງານ​ໂຄງ​ການ​ທາງ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ສະ​ລັບ​ສັບ​ຊ້ອນ, ທີມ​ງານ​ວິ​ທະ​ຍາ​ສາດ​ຂໍ້​ມູນ​ທີ່​ຈັດ​ການ​ຂະ​ບວນ​ການ​ວິ​ເຄາະ, ຫຼື​ອົງ​ການ​ຈັດ​ຕັ້ງ​ຂະ​ບວນ​ການ​ຂະ​ບວນ​ການ​ໃນ​ທົ່ວ​ຫຼາຍ​ວິ​ຊາ, ການ​ມີ​ເວ​ທີ​ທີ່​ເຫມາະ​ສົມ​ເຮັດ​ໃຫ້​ຄວາມ​ແຕກ​ຕ່າງ​ທັງ​ຫມົດ. Mewayz ເປັນ OS ທຸລະກິດທັງໝົດໃນໜຶ່ງດຽວທີ່ເຊື່ອຖືໄດ້ຈາກຜູ້ໃຊ້ຫຼາຍກວ່າ 138,000 ຄົນ, ສະເໜີໃຫ້ 207 ໂມດູນປະສົມປະສານເພື່ອປັບປຸງທຸກຢ່າງຈາກການຄຸ້ມຄອງໂຄງການຈົນເຖິງການຮ່ວມມືຂອງທີມ — ເລີ່ມຕົ້ນພຽງແຕ່ $19/ເດືອນ. ພ້ອມທີ່ຈະນໍາເອົາຄວາມຊັດເຈນແລະໂຄງສ້າງໄປສູ່ການເຮັດວຽກທີ່ສັບສົນບໍ? ເລີ່ມການເດີນທາງຂອງເຈົ້າທີ່ app.mewayz.com ແລະສຳຜັດກັບວິທີທີ່ສະຫຼາດກວ່າໃນການປະຕິບັດງານ.