Hana Gamma: ʻIke no nā hoʻopaʻapaʻa paʻakikī

ʻO ka hana gamma kahi hoʻonui makemakika ikaika o ka hana factorial, i wehewehe ʻia no nā helu paʻakikī a pau koe nā helu helu maikaʻi ʻole, a ʻo kāna ʻike ʻana no nā hoʻopaʻapaʻa paʻakikī e hōʻike ana i nā hale geometric paʻakikī e hoʻomālamalama i kona mau waiwai analytical hohonu. He mea nui ka hoʻomaopopo ʻana i ke ʻano o ka hana gamma ma kēlā ʻaoʻao o ka mokulele paʻakikī no ka poʻe makemakika, ʻepekema data, a me nā ʻenekinia e hilinaʻi nei iā ia ma nā kahua mai ka quantum physics a hiki i ka hoʻohālike helu.

He aha ke ʻano o ka hana Gamma a no ke aha he mea nui ia?

ʻO ka hana gamma, i kapa ʻia ʻo Γ(z), ua hoʻolauna ʻia e Leonhard Euler i ke kenekulia 18 ma ke ʻano he hōʻuluʻulu kūlohelohe o ka hana factorial i nā waiwai helu ʻole. No kēlā me kēia helu helu n, Γ(n) = (n − 1)!, e lilo ia i alahaka koʻikoʻi ma waena o ka makemakika ʻokoʻa a me ka nānā ʻana mau. Hoʻopili ʻia kona kikowaena i ka mokulele paʻakikī holoʻokoʻa - kahi ākea ʻelua ʻāpana kahi e lawe ai nā helu i nā ʻāpana maoli a me nā mea noʻonoʻo - ʻo ia ka mea e hoʻohihi ai a koi ʻia kona ʻike.

No nā waiwai maikaʻi maoli, hoʻopuka ka hana gamma i kahi ʻāwili maʻemaʻe me kahi ʻano ʻike kaulana. Akā ke hoʻonui ʻoe i ka hoʻopaʻapaʻa i loko o ka mokulele paʻakikī, ʻoi aku ka waiwai o ka ʻano. Hōʻike ʻia nā pole ma ka ʻole a me kēlā me kēia integer maikaʻi ʻole, a hōʻike ka hana i ke ʻano oscillatory ʻaʻole hiki ke hoʻopaʻa paʻa ʻia nā ʻāpana ʻelua. ʻO ia ke kumu e huli ai ka poʻe makemakika i ka kala kala ʻāina a me nā ʻāpana ʻāpana ʻekolu no ka hoʻomaopopo ʻana i ke ʻano piha o ka hana gamma paʻakikī.

Pehea e ʻike ʻia ai ka hana Gamma no nā hoʻopaʻapaʻa paʻakikī?

He mea paʻakikī ka ʻike ʻana i kahi hana waiwai paʻakikī o kahi hoʻololi paʻakikī no ka mea ke hana nei ʻoe i ʻehā mau ana maoli i ka manawa like. ʻO ka ʻenehana i hoʻohana nui ʻia ʻoka waihoʻoluʻu domain, kahi e hāʻawi ʻia ai kēlā me kēia kiko o ka mokulele hoʻokomo paʻakikī i kahi kala e hōʻike ana i ka waiwai hoʻopuka. Hoʻopili ʻo Hue i ka hoʻopaʻapaʻa (angle) o ka mea hoʻopuka, ʻoiai ʻo ka mālamalama a i ʻole ka saturation e hoʻopili i ka modulus (ka nui).

Hāʻawi nā ʻāpana ʻekolu-dimensional i kahi lens ikaika ʻē aʻe. Ma ka hoʻolālā ʻana i ka modulus |Γ(z)| ma luna o ka mokulele paʻakikī, ʻike ʻoe i nā ʻuala nui ma nā pou — aia ma z = 0, −1, −2, −3, … — e piʻi ana i ka palena ʻole. Ma waena o kēia mau pou, ʻike nā awāwa a me nā kua i nā zeros a me nā wahi noho o ka hana, e hana ana i kahi ʻāina makemakika nani a me ka ʻike ʻike.

"ʻAʻole hoʻonani wale ka kala ʻana o ka hana gamma paʻakikī - he palapala ʻāina paʻa ia o ke ʻano analytic o ka hana, e hōʻike ana i nā pou, nā zeros, a me nā ʻano lālā i ka manawa hoʻokahi. Hoʻopili kēlā me kēia hui kala i kahi helu wili e kamaʻilio pololei i nā koena o ka hana."

Mea hoʻopili helu hou — ʻo Python's Matplotlib a me mpmath hale waihona puke, Mathematica, a me MATLAB — ʻae i ka poʻe noiʻi e hāʻawi i kēia mau hiʻohiʻona me ka pololei kiʻekiʻe, e ʻae ai i ka ʻimi pili ʻana i ke ʻano o ka hana e like me nā hoʻopaʻapaʻa e holo ana ma ka mokulele paʻakikī.

He aha nā waiwai kumu i hōʻike ʻia ma o ka ʻike ʻike paʻakikī?

Ke ʻike maka ʻana i ka hana gamma no nā hoʻopaʻapaʻa paʻakikī e hoʻomālamalama i kekahi mau waiwai kumu paʻakikī ke hoʻomaopopo pono ma o nā hoohalike:

• Kūnaeʻa kia: Hōʻike ʻia nā mākia maʻalahi i kēlā me kēia huina helu maikaʻi ʻole (z = 0, −1, −2, …) ma ke ʻano he mau ʻōniʻoniʻo ma nā ʻāpana ʻili a me nā hiʻohiʻona ʻālohilohi i ka kala ʻāina.
• Hoʻohālike hoʻohālikelike: Hoʻokumu ka hoohalike hana Γ(z)Γ(1 − z) = π / sin(πz) i kahi hoʻohālikelike conjugate ʻike ʻia ma waena o ke axis maoli i nā kiʻi waihoʻoluʻu.
• Pūnaewele hou: Hōʻike ʻia ka Γ(z + 1) = zΓ(z) ma ke ʻano he puʻupuʻu hana hou e hoʻopili ai i ka ʻike ma nā ʻāpana kū pololei o ka laulā hoʻokahi.
• Ka hana hoʻohālikelike ʻana: No ka |z| nui, e ulu ana ka nui o ka hana ma ke ʻano e hōʻoiaʻiʻo ʻole ai ka ʻāpana ʻili o ka logarithmic, e hāʻawi ana i nā hōʻike ʻike no ka pololei o ka hoʻohālikelike.
• Ka hoʻomau 'analytic: Hōʻike maʻalahi ka hiʻohiʻona i ke ʻano o ka hana, i wehewehe mua ʻia no Re(z) > 0 wale nō, e hoʻonui i ka mokulele paʻakikī holoʻokoʻa koe nā pou - he hōʻike i ka mana o ka hoʻomau analytic.

He aha ke ʻano moʻolelo mōʻaukala a me ka ulu ʻana o ka noiʻi hana Gamma?

ʻO ka wehewehe hoʻohui kumu mua a Euler, Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z−1) e^(−t) dt, i hoʻokumu i ke kumu i ka makahiki 1729. ʻO Gauss, Legendre, a me Weierstrass kēlā me kēia i hāʻawi i nā hoʻoponopono hou - ʻo ke ʻano huahana Weierstrass ke ʻano o ka ʻike ʻike. I ke kenekulia 20, ua hoʻokumu ka hoʻopaʻapaʻa paʻakikī i ka hoʻomaopopo ʻana i ka hana gamma ma ke ʻano he hana meromorphic, a ua hoʻololi nā ʻōnaehana algebra kamepiula hou i ka nānā ʻana mai nā kaha kaha lima i nā kiʻi hoʻonā kiʻekiʻe.

Ma muli o ka hoʻonui ʻana o ka ʻike helu helu i hiki ke loaʻa ka hana gamma ma mua o ka makemakika maʻemaʻe. I kēia mau lā, ʻike ʻia ia ma ka hoʻoponopono maʻamau o nā puʻunaue likelika (ka gamma a me ka puʻuna beta), i nā hoʻonā i nā hoʻohālikelike ʻokoʻa i ka physics, a ma ka helu helu ma o kona pili ʻana i ka hana Riemann zeta - e pōmaikaʻi ana kēlā me kēia domain mai ka intuition i hāʻawi ʻia e ka hiʻohiʻona.

Pehea e hoʻohana ʻia ai nā hiʻohiʻona hana Gamma paʻakikī i nā kahua o kēia wā?

Oi loa aku ka hiki pono o ka hiʻona hana gamma ma mua o ka makemakika hoʻonaʻauao. Ma ka helu helu helu, ʻo ka nānā ʻana i ka hana gamma e kōkua i nā ʻepekema ʻikepili e hoʻomaopopo i ke ākea o nā kumu hoʻohālike i hāʻawi ʻia i ka gamma i hoʻohana ʻia i ka ʻepekema actuarial, ka manaʻo queuing, a me ka loiloi Bayesian. Ma ka quantum field theory, hoʻokomo pinepine nā helu kiʻi Feynman i nā loiloi hana gamma ma nā hoʻopaʻapaʻa paʻakikī, a kōkua ke ʻike i nā physicists i ka nānā ʻana i ka ʻano asymptotic. Ma ka hana hōʻailona, ʻike ʻia ka hana ma ka hoʻolālā kānana a me ka helu haʻihaʻi, kahi e hoʻopili pololei ai kāna ʻano mokulele paʻakikī i ka nānā ʻana i ke kūpaʻa ʻōnaehana.

Ke makemake nui nei nā hui e hana ana me nā paipu ʻikepili paʻakikī a me nā kahe hana analytical i nā paepae e hiki ke hoʻonohonoho i kēia mau mea hana a me nā mea hoʻopuka. ʻO kēia kahi kahi e koʻikoʻi ai nā ʻōnaehana hana ʻoihana holoʻokoʻa - ʻaʻole no nā hui noiʻi wale nō, akā no kēlā me kēia hui e mālama ana i nā papahana multidisciplinary ma ka nui.

Nīnau pinepine

No ke aha i loaʻa ai i ka hana gamma nā pou ma nā huina kūpono ʻole?

Hui ka wehewehena huikau o ka hana gamma no Re(z) > 0 wale no. Ke hoomauia ka analytical i ke koena o ka mokulele paʻakikī, ka pilina hoʻi Γ(z + 1) = zΓ(z) e hoʻoikaika i nā ʻokoʻa ma z = 0, −1, −2, … He koena ko kēia mau pou maʻalahi i hāʻawi ʻia e (−1)^n / n!, he ʻoiaʻiʻo i ʻike maʻemaʻe ʻia i nā hiʻohiʻona ʻokoʻa.

He aha nā lako polokalamu maikaʻi loa no ka nānā ʻana i ka hana gamma ma luna o nā manaʻo paʻakikī?

Python's mpmath waihona i hui pū ʻia me Matplotlib ka koho maʻalahi loa no ka poʻe noiʻi, e hāʻawi ana i ka loiloi kūpono ʻole a me nā papa hana maʻalahi. Hāʻawi ʻo Mathematica i nā hana paʻakikī i kūkulu ʻia me ka waihoʻoluʻu ʻana i waho o ka pahu. No ka launa pū ʻana, ka ʻimi ʻana i ka polokalamu kele pūnaewele, nā mea hana e like me Observable a i ʻole Wolfram Cloud e ʻae i ka sweeping parameter manawa maoli. ʻOi aku ka makemake o ka pahu hana hōʻailona o MATLAB i nā pōʻaiapili ʻenekinia kahi e pono ai ka hoʻohui ʻana me nā paipu simulation nui.

Pehea e pili ai ka hana gamma i ka hana Riemann zeta?

Hāʻawi ʻia ka pilina e ka hoohalike hana o ka hana Riemann zeta: ζ(s) = 2^s π^(s−1) sin(πs/2) Γ(1 − s) ζ(1 − s). Hoʻohana kēia hoohalike i ka hana gamma no ka hoʻopili ʻana i nā koina o ka hana zeta ma nā ʻaoʻao kūʻē o ke kaha koʻikoʻi Re(s) = 1/2. ʻO ka nānā ʻana i nā hana ʻelua ma luna o ka mokulele paʻakikī ma kēlā ʻaoʻao e hōʻike i ke ʻano o ka hoʻopili pono ʻana o nā pou o ka hana gamma a me nā zero o ka hana zeta, kahi pilina ma ka puʻuwai o ka Riemann Hypothesis.

Inā he mea noiʻi ʻoe e hoʻonohonoho ana i nā papahana makemakika paʻakikī, he hui ʻepekema ʻikepili e hoʻokele ana i nā kahe hana analytical, a i ʻole he hui e hoʻonui ana i nā hana ma nā ʻano aʻoaʻo he nui, ʻo ka loaʻa ʻana o ka paepae kūpono e hoʻololi i nā mea āpau. Mewayzʻo ia ka OS pāʻoihana holoʻokoʻa i hilinaʻi ʻia e nā mea hoʻohana ʻoi aku ma mua o 138,000, e hāʻawi ana i 207 mau modules i hoʻohui ʻia e hoʻopololei i nā mea āpau mai ka hoʻokele papahana a i ka hui pū ʻana - e hoʻomaka ana ma $19/mahina wale nō. Mākaukau e lawe i ka maopopo a me ka hoʻolālā i ka hana paʻakikī? E hoʻomaka i kāu huakaʻi ma app.mewayz.com a e ʻike i kahi ala akamai e hana ai.