Warum diese ikonische Scotch-Marke einen Whisky für Bourbon-Trinker herstellt

Okay, lassen Sie mich das Schritt für Schritt aufschlüsseln.

Das Problem lautet:

> Die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) wächst auf den Intervallen \( (-\infty, -2) \) und \( (4, \infty) \).

> Also nimmt \( f \) im Intervall \( (-2, 4) \) ab.

Wir werden gefragt:

> Finden Sie die lokalen Maximal- und Minimalwerte von \( f \).

---

## Schritt 1: Kritische Punkte

Die lokalen Extrema treten dort auf, wo \( f'(x) = 0 \) oder undefiniert ist.

Hier ist \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \).

Setze \( f'(x) = 0 \):

\[

3x^2 - 6x - 24 = 0

\]

Durch 3 dividieren:

\[

x^2 - 2x - 8 = 0

\]

Faktor:

\[

(x - 4)(x + 2) = 0

\]

Also kritische Punkte: \( x = -2 \) und \( x = 4 \).

---

## Schritt 2: Bestimmen Sie das lokale Maximum und Minimum mithilfe des zunehmenden/abfallenden Verhaltens

Gegeben:

- Erhöhen auf \( (-\infty, -2) \) → bedeutet dort \( f'(x) > 0 \).

- Verringern auf \( (-2, 4) \) → bedeutet dort \( f'(x) < 0 \).

- Zunehmend auf \( (4, \infty) \) → bedeutet dort \( f'(x) > 0 \).

Also:

- \( x = -2 \): \( f' \) ändert sich von positiv nach negativ → lokales Maximum.

- \( x = 4 \): \( f' \) ändert sich von negativ nach positiv → lokales Minimum.

---

## Schritt 3: Berechnen Sie \( f(-2) \) und \( f(4) \)

\[

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5

\]

**Bei \( x = -2 \):**

\[

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + 5

\]

\[

= -8 - 3(4) + 48 + 5

\]

\[

= -8 - 12 + 48 + 5

\]

\[

= -20 + 48 + 5 = 28 + 5 = 33

\]

Also lokaler Maximalwert = \( 33 \).

**Bei \( x = 4 \):**

\[

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + 5

\]

\[

= 64 - 3(16) - 96 + 5

\]

\[

= 64 - 48 - 96 + 5

\]

\[

= 16 - 96 + 5 = -80 + 5 = -75

\]

Also lokaler Minimalwert = \( -75 \).

---

## Schritt 4: Endgültige Antwort

\[

\boxed{33 \text{ und } -75}

\]

Dies sind die lokalen Maximal- und lokalen Minimalwerte von \( f \).

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Frequently Asked Questions

Warum ist die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) im Intervall \( (-\infty, -2) \) und \( (4, \infty) \) wachsend und im Intervall \( (-2, 4) \) fallend?

Die Funktion \( f(x) \) wächst auf den Intervallen \( (-\infty, -2) \) und \( (4, \infty) \), weil ihre Ableitung \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \) in diesen Bereichen positiv ist. Im Intervall \( (-2, 4) \) ist die Ableitung negativ, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Bereich fällt. Dies ergibt sich aus der Analyse der Nullstellen der Ableitung und des Vorzeichens der Ableitung in den verschiedenen Intervallen.

Wie finden wir die lokalen Maximal- und Minimalwerte von \( f(x) \)?

Um die lokalen Maximal- und Minimalwerte von \( f(x) \) zu finden, müssen wir die kritischen Punkte bestimmen, an denen die Ableitung \( f'(x) \) null oder undefiniert ist. Hier ist \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \). Setzen wir \( f'(x) = 0 \), erhalten wir \( x = -2 \) und \( x = 4 \). Diese Punkte sind die kritischen Punkte. Durch die Analyse der zweiten Ableitung oder durch den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung um diese Punkte können wir bestimmen, ob es sich um lokale Maxima oder Minima handelt.

Was ist der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extremwerten?

Lokale Extremwerte sind die höchsten oder niedrigsten Punkte einer Funktion in einer bestimmten Umgebung oder in einem kleinen Intervall. Globale Extremwerte hingegen sind die höchsten oder niedrigsten Punkte der gesamten Funktion über ihrem gesamten Definitionsbereich. Eine Funktion kann