Чому цей культовий скотч виробляє віскі для любителів бурбону

Гаразд, дозвольте мені розібрати це крок за кроком.

Проблема говорить:

> Функція \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) є зростаючою на проміжках \( (-\infty, -2) \) і \( (4, \infty) \).

> Отже, \( f \) спадає на інтервалі \( (-2, 4) \).

Нас запитують:

> Знайдіть локальне максимальне та локальне мінімальне значення \( f \).

---

## Крок 1: Критичні точки

Локальні екстремуми виникають там, де \( f'(x) = 0 \) або не визначено.

Тут \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \).

Встановити \( f'(x) = 0 \):

\[

3x^2 - 6x - 24 = 0

\]

Розділити на 3:

\[

x^2 - 2x - 8 = 0

\]

Фактор:

\[

(x - 4)(x + 2) = 0

\]

Отже, критичні точки: \( x = -2 \) і \( x = 4 \).

---

## Крок 2: Визначте локальні максимум і мінімум за допомогою поведінки збільшення/зменшення

Дано:

- Збільшення на \( (-\infty, -2) \) → означає \( f'(x) > 0 \) там.

- Зменшення на \( (-2, 4) \) → означає \( f'(x) < 0 \) там.

- Збільшення на \( (4, \infty) \) → означає \( f'(x) > 0 \) там.

Отже:

- \( x = -2 \): \( f' \) змінюється від позитивного до негативного → локальний максимум.

- \( x = 4 \): \( f' \) змінюється від негативного до позитивного → локальний мінімум.

---

## Крок 3: обчисліть \( f(-2) \) і \( f(4) \)

\[

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5

\]

**При \( x = -2 \):**

\[

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + 5

\]

\[

= -8 - 3(4) + 48 + 5

\]

\[

= -8 - 12 + 48 + 5

\]

\[

= -20 + 48 + 5 = 28 + 5 = 33

\]

Отже, локальне максимальне значення = \( 33 \).

**При \( x = 4 \):**

\[

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + 5

\]

\[

= 64 - 3(16) - 96 + 5

\]

\[

= 64 - 48 - 96 + 5

\]

\[

= 16 - 96 + 5 = -80 + 5 = -75

\]

Отже, локальне мінімальне значення = \( -75 \).

---

## Крок 4: Остаточна відповідь

\[

\boxed{33 \text{ і } -75}

\]

Це локальні максимальні та локальні мінімальні значення \( f \).

Оптимізуйте свій бізнес із Mewayz

Mewayz об’єднує 208 бізнес-модулів на одній платформі — CRM, виставлення рахунків, управління проектами тощо. Приєднуйтеся до понад 138 000 користувачів, які спростили свій робочий процес.

Почніть безкоштовно сьогодні →

{"@context":"https://schema.org","@type":"Article","headline":"Чому цей культовий скотч виготовляє віскі для бурбону п'ють","url":"https://mewayz.com/blog/why-this-iconic-scotch-brand-is-making-a-whisky-for-bourbon-drinkers","datePublished":"2026-03-07T13:23:54+00:00","dateModified":"2026-0 3-07T13:23:54+00:00","author":{"@type":"Organization","name":"Mewayz","url":"https://mewayz.com"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Mewayz","url":"https://mewayz.com"}}

Frequently Asked Questions

What are critical points and why are they important for finding extrema?

Critical points are values of \( x \) where the derivative of a function is either zero or undefined. They are crucial because they are the primary candidates for where a function can have a local maximum or minimum value. In this problem, solving \( f'(x) = 0 \) gave us the critical points \( x = -2 \) and \( x = 4 \). Mastering the process of finding critical points is a fundamental skill, and platforms like Mewayz offer structured modules to build this essential calculus foundation.

How do I know if a critical point is a local maximum or minimum?

You determine this by analyzing the sign of the first derivative around the critical point. If \( f'(x) \) changes from positive to negative, it indicates a local maximum. If it changes from negative to positive, it indicates a local minimum. In our case, since the function increases on \( (-\infty, -2) \) and decreases on \( (-2, 4) \), \( x = -2 \) is a local maximum. This analytical approach is a key topic covered in detail in calculus courses.

Can a function have a local maximum or minimum where the derivative isn't zero?

Yes, but only if the derivative is undefined at that point. For example, the function \( f(x) = |x| \) has a minimum at \( x = 0 \), where the derivative does not exist. However, for smooth, differentiable functions like the polynomial in our problem, local extrema will always occur where the derivative is zero. Understanding these nuances is important for problem-solving. Resources like Mewayz's 208 modules can help clarify such exceptions.

Why do we need to evaluate the function at the critical points?

Finding the critical points only tells us the \( x \)-coordinates of potential extrema. To find the actual local maximum and minimum *values*, we must substitute these \( x \)-values back into the original function \( f(x) \). For instance, you would compute \( f(-2) \) and \( f(4) \) to get the specific output values. This final evaluation step is essential for completing the problem, a common theme in mathematical analysis that structured learning paths reinforce effectively.