Por que esta marca icônica de uísque está fazendo um uísque para quem bebe bourbon

Ok, deixe-me explicar isso passo a passo.

O problema diz:

> A função \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) é crescente nos intervalos \( (-\infty, -2) \) e \( (4, \infty) \).

> Então, \( f \) está diminuindo no intervalo \( (-2, 4) \).

Somos questionados:

> Encontre os valores máximos e mínimos locais de \( f \).

---

## Etapa 1: Pontos críticos

Os extremos locais ocorrem onde \( f'(x) = 0 \) ou é indefinido.

Aqui, \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \).

Defina \( f'(x) = 0 \):

\[

3x ^ 2 - 6x - 24 = 0

\]

Divida por 3:

\[

x ^ 2 - 2x - 8 = 0

\]

Fator:

\[

(x - 4)(x + 2) = 0

\]

Portanto, pontos críticos: \( x = -2 \) e \( x = 4 \).

---

## Etapa 2: Determine o máximo e o mínimo locais usando comportamento crescente/decrescente

Dado:

- Aumentar em \( (-\infty, -2) \) → significa \( f'(x) > 0 \) ali.

- Diminuir em \( (-2, 4) \) → significa \( f'(x) < 0 \) ali.

- Aumentar em \( (4, \infty) \) → significa \( f'(x) > 0 \) ali.

Então:

- \( x = -2 \): \( f' \) muda de positivo para negativo → máximo local.

- \( x = 4 \): \( f' \) muda de negativo para positivo → mínimo local.

---

## Etapa 3: Calcule \( f(-2) \) e \( f(4) \)

\[

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5

\]

**Em \( x = -2 \):**

\[

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + 5

\]

\[

= -8 - 3(4) + 48 + 5

\]

\[

= -8 - 12 + 48 + 5

\]

\[

= -20 + 48 + 5 = 28 + 5 = 33

\]

Portanto, valor máximo local = \( 33 \).

**Em \( x = 4 \):**

\[

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + 5

\]

\[

= 64 - 3(16) - 96 + 5

\]

\[

= 64 - 48 - 96 + 5

\]

\[

= 16 - 96 + 5 = -80 + 5 = -75

\]

Portanto, valor mínimo local = \( -75 \).

---

## Etapa 4: resposta final

\[

\boxed{33 \text{ e } -75}

\]

Estes são os valores máximos e mínimos locais de \( f \).

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Frequently Asked Questions

O que é um ponto crítico e por que ele é importante?

Um ponto crítico é onde a derivada da função é igual a zero ou indefinida. Esses pontos são importantes porque são os candidatos a máximos e mínimos locais. Na resolução do problema, encontramos os pontos críticos em x = -2 e x = 4, que são exatamente os pontos onde a função muda de comportamento crescente para decrescente e vice-versa.

Como sabemos que a função está diminuindo no intervalo (-2, 4)?

Sabemos que a função está diminuindo porque o enunciado afirma que f(x) é crescente nos intervalos (-∞, -2) e (4, ∞). Como a função é contínua, ela deve estar diminuindo no intervalo intermediário para conectar essas duas regiões crescentes. Podemos confirmar analisando o sinal da derivada nesse intervalo.

Qual é o valor máximo local de f(x) e onde ele ocorre?

O valor máximo local ocorre em x = -2. Para encontrar f(-2), substituímos na função original: f(-2) = (-2)³ - 3(-2)² - 24(-2) + 5 = -8 - 12 + 48 + 5 = 31. Portanto, o máximo local é 31 no ponto x = -2.

Qual é o valor mínimo local de f(x) e onde ele ocorre?

O valor mínimo local ocorre em x = 4. Para encontrar f(4), substituímos na função original: f(4) = (4)³ - 3(4)² - 24(4) + 5 = 64 - 48 - 96 + 5 = -75. Portanto, o mínimo local é -75 no ponto x = 4.